Os Teoremas de Fermat: Desafios Matemáticos e Legados na História da Matemática

1. Último Teorema de Fermat (ou Teorema de Fermat para potências maiores que 2)

Este é, sem dúvida, o teorema mais famoso de Pierre de Fermat. Ele foi enunciado em 1637, quando Fermat escreveu à margem de um livro que havia encontrado uma "prova maravilhosa" de que a equação

a^n + b^n = c^n

O enunciado formal:

Para , não existem números inteiros , , e que satisfaçam a equação .

Exemplo (para ):

A equação tem soluções inteiras, e a mais famosa é a tripla , ou seja, .

Para :

No caso de , não existe uma solução inteira para . Fermat afirmou que isso também se aplica para qualquer , o que permaneceu sem comprovação por mais de 350 anos.

A prova por Andrew Wiles:

Fermat morreu sem deixar uma prova, e por séculos esse teorema desafiou matemáticos. Foi apenas em 1994 que o matemático britânico Andrew Wiles, após anos de trabalho em segredo, conseguiu provar o Último Teorema de Fermat. Ele utilizou técnicas modernas, como formas modulares e curvas elípticas, áreas da matemática que não existiam na época de Fermat.

Wiles construiu sua prova a partir de um resultado conhecido como teorema de Taniyama-Shimura-Weil, que relaciona certas classes de formas modulares com curvas elípticas. Isso permitiu a Wiles demonstrar que, se uma solução existisse para o Último Teorema de Fermat, ela violaria este teorema moderno, portanto, não poderia haver soluções inteiras.

2. Pequeno Teorema de Fermat

O Pequeno Teorema de Fermat é uma das pedras fundamentais da teoria dos números e tem aplicações práticas em criptografia. Ele afirma que, para qualquer número inteiro e um número primo , a seguinte congruência é válida:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

Exemplo:

Tomemos e . O Pequeno Teorema de Fermat nos diz que . Vamos verificar isso:

2^6 = 64 \quad \text{e} \quad 64 \div 7 = 9 \quad \text{resto} \quad 64 - 7 \times 9 = 64 - 63 = 1

Este teorema é amplamente utilizado em sistemas criptográficos, como o RSA, que é uma técnica de chave pública para segurança de dados na internet.

3. Teorema dos Dois Quadrados de Fermat

O Teorema dos Dois Quadrados de Fermat é uma proposição que afirma que um número primo pode ser expresso como a soma de dois quadrados inteiros se, e somente se, ou .

Exemplo:

• O número primo pode ser escrito como a soma de dois quadrados: .
• O número primo também pode ser escrito como a soma de dois quadrados: .
• O número primo , por outro lado, não pode ser expresso como a soma de dois quadrados inteiros.

Este teorema é uma generalização do fato de que muitos números primos podem ser expressos como somas de dois quadrados. No caso de , temos , o que também se encaixa na regra.

4. Teorema da Soma de Quatro Quadrados de Fermat

Este teorema afirma que todo número inteiro pode ser expresso como a soma de no máximo quatro quadrados inteiros. Esse teorema foi demonstrado por Joseph-Louis Lagrange em 1770, mas foi originalmente proposto por Fermat.

Exemplo:

O número pode ser expresso como a soma de quatro quadrados de várias formas:

23 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 4^2

23 = 2^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2

Conclusão:

Os teoremas de Fermat, especialmente o Último Teorema de Fermat, tiveram um impacto profundo no desenvolvimento da matemática. Seu Último Teorema motivou gerações de matemáticos a investigar questões fundamentais da teoria dos números. O Pequeno Teorema de Fermat, por sua vez, se tornou uma base para a criptografia moderna, enquanto o Teorema dos Dois Quadrados de Fermat e o Teorema da Soma de Quatro Quadrados de Fermat continuam a ser explorados em várias ramificações da matemática, como a teoria algébrica dos números.

Esses teoremas não apenas desafiaram os matemáticos por séculos, mas também contribuíram significativamente para a evolução da matemática em várias áreas.